YУнхайTАнг,1QУанингWU,1,* XIaoyiCКурица2 ИHАоZВЕШАТЬ1,2
1Цзянсу ключевая лаборатория микро и нано -нано -тепловой технологии потока и энергии, Школа математики и физики, Университет науки и технологий Сучжоу, Сучжоу, Цзянсу, 215009, Китай
2Практическая станция для аспирантуры в Soochow Mason Optics Co., Ltd., Suzhou, Jiangsu 215028, Китай
*wqycyh@mail.usts.edu.cn
Абстрактный: Мы предлагаем числовой метод для проектирования прогрессивного дополнения (PAL), который может удовлетворить больше личных потребностей по сравнению с использованием аналитического решения уравнения Лапласа. В нашем методе вспомогательная функцияu(x, y) PAL получают численным решением уравнения Лапласа с границей и условиями связи. Граничное условие получается с использованием генетического алгоритма с вводом отдельных требований. Условие ссылки определяется с использованием метода конечных разностей с более плавнымu(x, y) на меридиане. Два примера приведены для открытия и
офисное использование. В обоих случаях область астигматизма выдвигается к небольшой площади рядом с краем объектива.
© 2017 Оптическое общество Америки
Коды OCIS:(220.0220) оптический дизайн и изготовление; (080.0080) Геометрическая оптика.
Ссылки и ссылки
JT Winthrop, Wellesley и Mass, «Progressive Addice Spectacle Lens», США, патентный номер 4861153, 1989.
Т. Стил, Х. Маклафлин и Д. Пейн, «Прогрессивная мощность с добавлением», Патент США по патентам 6776486B2, 2004.
J. Loost, G. Greiner и HP Seidel, «Вариационный подход к проектированию прогрессивной линзы», Comput. Помогает дс.
30(8), 595–602 (1998).
Дж. Ван, «Дизайн прогрессивного математического анализа линз и численных методов» (Eden Prairie: докторская диссертация Университета Миннесоты, 5–54 (2002).
J. Wei, W. Bao, Q. Tang и H. Wang, «Численное метод вариационной диффференции для проектирования линз прогрессивного добавления», Comput. Помогает дс.48(3), 17–27 (2014).
Q. Wu, L. Qian, H. Chen, Y. Wang и J. Yu, «Исследование дизайна меридианских линий для прогрессивных линз с добавлением», Acta Opt. Грех29(11), 3186–3191 (2009).
Y. Tang, Q. Wu, X. Chen, H. Zhang и Y. Long, «Оптимизация линии прогрессивных линз добавления меридиана», основанная на генетическом алгоритме », Acta Opt. Грех34(9), 09220051–09220057 (2014).
З. да,Основы исчисления вариаций (второе издание), (Индустрия национальной обороны, 2007), гл. 2
Х. Фан, яТолды для уравнений с частичной дифференциацией (гражданское строительство), (China Machine, 2013), гл. 1
Wh Press, Sa Teukolsky, Wt Vetterling, BP Flannery,Численные рецепты в C: искусство научных вычислений(Кембриджский университет, 1992), гл. 19.2, 19.5.
1. Введение
Прогрессивный дополнение (PAL) обеспечивает бесшовное четкое зрение на разных расстояниях просмотра. Существует две основные категории методов проектирования приятелей. Один принадлежит прямому методу. Например, Уинтропи дрПолем [1] описали систему, в которой дизайнеры указали фокусную силу вдоль пупочного меридиана. Как форма оставшейся части линзы, так и изгибы прогрессирующей поверхности определяются вспомогательной функциейu(x, y) Контуры вспомогательной функции наx-y Плоскость называется кривыми уровнями. А
Вспомогательная функция была получена путем аналитического решения уравнения Лапласа. Стили дрПолем [2] указали фокусную мощность по всей поверхности с использованием коники (в качестве вспомогательной функции) и получила форму поверхности PAL, решая эллиптическое уравнение дифференциального уравнения. Другой способ - косвенно определить поверхность PAL. Например, Loostи дрПолем [3], Ван
[4], Вей [5] разработал функцию оценки, которая пытается достичь баланса между желаемым распределением фокусной власти и нежелательным астигматизмом. Поверхность PAL была получена путем численного минимизации функции оценки. В прямых методах конструкции фокусной мощности меридиана и кривых уровней представляют собой две ключевые моменты. Недавно была описана методика поиска оптимизированного фокусного распределения мощности на линии меридиана [6,7]. Уинтропи дрПолем и Стили дрПолем представлены аналитические выражения для кривых уровней [1,2]. Все эти методы имеют только два или три параметра для регулировки кривых уровней. Следовательно, их способность удовлетворить личные потребности в коррекции зрения ограничена.
Мы предлагаем метод, который может удовлетворить больше личных потребностей по сравнению с упомянутыми выше методами. В нашем подходе кривые уровня получаются путем численного решения уравнения Лапласа с помощью границ и условий связи, которые зависят от индивидуальной ситуации. Существует сложная связь между граничным условием уравнения Лапласа и астигматизмом. Граничное условие получается с использованием генетического алгоритма с вводом персонализированного требования. Чтобы свести к минимуму астигматизм на линии меридиана, мы предлагаем более плавное условие связи, используя принцип изменения и метод конечных разностей. Метод обеспечивает гибкость и эффективность для определения индивидуальной линзы.
2. Дизайн кривых уровней для объектива прогрессивного добавления
Поверхность приятеля разделена на четыре области (рис. 1). Область расстояния 1 в верхней части объектива имеет относительно низкую фокусную силу. Близкая область 2 составляет 10-18 мм ниже площади расстояния и имеет относительно высокую фокусную мощность. Прогрессивный коридор 3 соединяет расстояние и вблизи областей. Области астигматизма 4 находятся слева и справа от прогрессивного коридора с относительно тяжелым астигматизмом. Разница в фокусной мощности между контрольной точкой A в области расстояния и точки зрения B в ближней области рассматривается как добавленная мощность (ADD) PAL. Область расстояния, вблизи площади и прогрессивный коридор называются эффективными областями зрения. Области астигматизма не могут быть использованы для исправления видения владельца.
Рис. 1. Четыре области приятеля.
Происхождение o является центром объектива иx-y Самолет касается объектива. Ось X указывает вниз в направлении увеличения фокусной силы. АzОсь указывает из бумаги в направлении читателя. Линия меридиана соединяет точки A и B. Расстояние между точкой A и B является длиной прогрессивного коридора.
Метод прямой проектирования разделен на несколько шагов. Первым шагом является разработка фокусной силы меридиана (вдоль линии меридиана) и вспомогательной функцииu(x, y) Второй
Шаг - определить кривизну и центры кривизны в каждой точке на поверхности PAL. Последний шаг - получить высоту вектораz(x, y) .
Распределение фокальной мощности должно быть гладким по поверхности объектива, поэтому вспомогательная функцияu(x, y) необходимо распределять гладко. Критерий плавности требует, чтобы квадратичная сумма частичных производных ¶u / ¶x и ¶u / ¶y быть минимумом, т.е.
Интеграл Dirichlet минимален. В соответствии с принципом изменения Эйлера-Лагранжа, вспомогательная функцияu(x, y) удовлетворяет уравнению Лапласа
Мы предлагаем решить уравнение. (1) Использование численной техники. Граничное условие уравнения Лапласа оптимизируется с использованием генетического алгоритма, в то время как условие связи получается с использованием метода конечных разностей.
2.1 Граничное условие уравнения Лапласа
Контрольная точкаuk представляет одну из точек сетки на границе вычислительного домена ω и определяется как
Здесьh связан с длиной прогрессивного коридора,L расстояние от точки A до исходной точки O, иpk является параметром управления генетического алгоритма, варьирующим от 0 до 1.K это количество «хромосом» в генетическом алгоритме. Последовательность всех «хромосом»h - L .
pk представляет собой вектор как «индивид». Ценностьuk варьируется от -L к
Целевая функцияf генетического алгоритма соответствует достоинствам вектора [7]
Здесь F1 - максимальный астигматизм приятеля. Максимальный астигматизм должен соответствовать требованию f* =r P - P , гдеP иP основные способности в точках A и B, 1A B A B иr это весовой коэффициент дополнительной мощности. Фонi ( i = 2, 3L6) являются средними значениями астигматизма в области расстояния, вблизи площади и прогрессивного коридора и двухОбласти астигматизма соответственно. Фонi ( i = 7, 8, 9) являются средними значениями мощности в области расстояния, вблизи площади и прогрессивного коридора соответственно. F* являются соответствующими объективными значениями. Фонi Изменение петли генетического алгоритма для поиска оптимизированной границыусловия.a1 ,...,a6 являются соответствующими взвешивающими коэффициентами областей астигматизма.a7 ,a8 иa9 являются соответствующими взвешивающими коэффициентами районов разницы в фокусной мощности.r ( 0.75 £ r £ 1) иai ( 0.1 £ ai £ 2) являются относительными значениями и определяются предпочтениями владельцев. Для занятий на свежем воздухе необходима широкая площадь расстояния, поэтому весовой коэффициентa2 должно быть больше, чемa3 Для офисных мероприятий, площади меньшего расстояния и большейРядом с участком разыскивается, поэтому весовой коэффициентa3 должно быть больше, чемa2 В любом случае, мы хотим, чтобы астигматизм был как можно меньше, но усилия ограничены другими спросами, такими как размеры четкого расстояния и вблизи регионов. На самом деле, это компромисс между зоной дистанции, ближней площади и астигматизмом.
2.2 Условие звена уравнения Лапласа
В предыдущем искусстве [1] вспомогательная функцияu(x, y) На линии меридиана между точками A и B выглядит следующим образом
Чтобы уменьшить астигматизм приятеля, мы стараемся сохранить конюшню фокуса
За пределами точки A и точки B на меридианской линии. Функцияu(x, 0) должен меняться больше
плавно. В точках A и B,u(x, 0) равенx, склоны должны быть равны нулю,u(x, 0) должен иметь более высокий порядокN из первых непанирующих дифференциальных производных. На линии меридиана между точками A и B абсолютные значения дифференциальных производных
минимум, когда заказ меньше, чемN или равенN .
Мы минимизируем суммирование квадрата деривативов с порядком от 1 до N
Аналитическая экспрессияu(x, 0) для минимума уравнения. (5) удовлетворяет уравнению Эйлера-Поссона [8]
Из уравнения. (7) и уравнение (8),Ci ( i = 1, 2,..., 2N ) в уравнении. (10) получены. Тогда вспомогательная функцияu(x, 0) на меридианской линии получается.
Дальше,ui, j на двух сторонах линии меридиана с ширинойd определяется схемой конечной различия [9]. Мы используем квадратную сетку (xi , y j ) для численного расчетаui, j .
Данныйui, j = u(xi , y j ), центрированная конечная формула различий используется для второй производной
Здесь äy это размер шага. Предположим, что симметричная осьu(x, y) равенui, j -1. Перестановление уравнения. (11), мы получаем меридианскую линию,ui, j +1
(12) На основе уравнения Лапласа и добавить коэффициент оптимизацииau , мы получаемu = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j Тогда значенияui, j ± n n = 1, 2, 3 ... аналогизируются по очереди. Значенияu(x, y) Между левым и правым границами прогрессивного коридора получены. Ширина прогрессивного коридора и факторы оптимизацииau изменить в соответствии с различными личными потребностями.
Численное решение уравнения ЛапласаУравнение Лапласа с границей и условиями связи, полученными выше, может быть написано какy2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
Здесь домен ω - это квадратная область, касающаяся приятеля,BG граница,DL область состояния ссылки, состояние
f(xG , yГ) оптимизированное граничное условие, иj(xL , yL )
Ссылка, уравнение Лапласа, изменяется в набор разничных уравнений с помощью схемы конечных различий.
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
(15) Здесьg = Äx = Äy это шаг, а длина боковой квадратной ω - этомгсm целое число.
Линейные уравнения. (15) решаются последовательным подходом к положению (SOR) [10]. Техника SOR использует повторяющуюся серию зачистков над сеткой, чтобы сходиться на решении. Скорость конвергенции зависит от значения коэффициента релаксации (ORF), а предпочтительное значение ORF определяется экспериментально. Важным преимуществом метода SOR является то, что он достигает конвергенции во времени, пропорционально квадратному корню из количества точек сетки. Эта функция подразумевает, что при скромных затратах в вычислительное время может быть реализовано достаточная плотность сетки для сходимости к решению.
3. Примеры и обсуждение
Мы применяем предлагаемый метод к двум примерам, чтобы продемонстрировать, как конкретное распределение фокусной силы и астигматизма PAL достигается соответствующей границей и условиями связи. В первом примере владелец использует приятель для занятий на свежем воздухе. Поэтому необходима широкая область расстояния. Согласно рецепту, PAL обладает -2. Индекс преломления материала линзы составляет 1,523. Передняя поверхность PAL представляет собой сферическую поверхность с + 2. 00 фокусной мощности диоптера. Задняя поверхность представляет собой прогрессивную поверхность добавления с -4. Значенияh иL 34 и 17 соответственно.
Чтобы сравнить производительность предлагаемого метода с предыдущими аналитическими методами, прогрессивная поверхность рассчитывается методом Уинтропа. Решение уравнения Лапласа является аналитическим выражением с параметрамиh , L , x иy Полем Кривые уровня
показано на рис. 2.
Рис. 2. Кривые уровня, полученные путем аналитического решения уравнения Лапласа.
Векторная высотаz(x, y) получается серией уравнений. На основе элементарного
Рассчитаются дифференциальная геометрия, фокальная сила и астигматизм прогрессивной поверхности. Контуры их показаны на рис. 3. Длина прогрессивного коридора составляет около 16 мм. Ширина области четкого зрения (астигматизм<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 мм составляет около 26 мм, что недостаточно широко для наружного зрения.
Рис. 3. Фокальная сила (а) и астигматизм (б) прогрессивной поверхности методом Уинтропа.
Чтобы получить более широкую область расстояния, весовой коэффициентai целевой функции для определения граничных условий уравнения Лапласа выбирается, как показано в таблице 1. Граничные условия, полученные с помощью генетического алгоритма, показаны на рис. 4 и рис. 5.
Рис. 4. Граничные условия левой и правой стороны.
Рис. 5. Граничные условия расстояния и вблизи зон.
Решая уравнение Лапласа численно с границей и условиями связи, оптимизированныеu(x, y) получено. Контуры оптимизированных
u(x, y) показаны на рис. 6.
Сравните с рис. 2, область шире, в которой значениеu(x, y) это меньше, чем -14.
Рис. 6. Контурные линии оптимизированныхu(x, y) в первом примере.
Один разu(x, y) получается,z(x, y) может быть получено с использованием вышеуказанных этапов дизайна. Контуры фокусной силы и астигматизма показаны на рис. 7. Оптические характеристики прогрессивной поверхности приведены в таблице 3. Можно видеть, что область расстояния (фокальная сила<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 мм составляет около 46 мм, что более подходит для наружного зрения.
Рис. 7. Фокальная сила (а) и астигматизм (б) прогрессирующей поверхности в первом примере.
PAL первого примера был изготовлен с гравировкой ЧПУ и полировкой. Оптические свойства измеряются с помощью Verifier без ротлекса (FFV), чтобы обеспечить фокусную силу и астигматизм (или называемый цилиндром) PAL. Контуры тестируемой фокусной силы и астигматизма показаны на рис. 8. Оптические характеристики PAL показаны в таблице 3. Это меньше, чем 0. 0 2 диоптер, что разница в мощности добавления между прогрессивной поверхностью и производственным приятелем. Отклонение максимального астигматизма составляет менее 0,02 диоптер. Из -за влияния кривизны передней поверхности ширина уменьшается на 12 мм и 2 мм в зоне расстояния (астигматизм<0.5 diopter, x = -10 мм) и вблизи зоны (астигматизм<0.5 diopter, x = 18 мм) изготовленного приятеля, чем у прогрессивной поверхности.
Рис. 8. Фокальная сила (а) и астигматизм (б) приятеля, протестированного FFV.
Во втором примере основные параметры такие же, как и у первого. PAL используется в офисе. Следовательно, необходимы более крупный ближний и более широкий коридор. Ширинаd установлено на 9 мм вместо 6 мм, как в первом примере. Взвешительные коэффициенты, основанные на потребности в ближнем зрения, показаны в таблице 2. Граничные условия, полученные с помощью генетического алгоритма, показаны на рис. 9 и рис. 10. Контуры оптимизированныхu(x, y) показаны на рис. 11.
Рис. 9. Граничные условия левой и правой стороны.
Рис. 10. Граничные условия расстояния и вблизи зон.
Рис. 11. Контурные линии оптимизированныхu(x, y) во втором примере.
На рисунке 12 показаны контуры фокусной силы и астигматизма второго примера. Таблица 3 представляет собой сравнение оптических характеристик между первым примером и вторым примером. Ширина площади расстояния первого примера на 24 мм шире, чем у второго примера вx = -10 мм. Ширина почти площади второго примера на 8 мм шире, чем у первого примера вx = 18 мм. Максимальный астигматизм второго примера меньше, чем у первого примера, а ширина коридора шире.
Рис. 12. Фокальная сила (а) и астигматизм (б) прогрессирующей поверхности во втором примере.
Таблица 1 и таблица 2 являются весовыми коэффициентами, основанными на различных потребностях владельца. Параметрыr иai целевой функции определяются потребностями и предпочтением владельца. Взвешивающий фактор астигматизмаa2 выбрано большим значением для занятий на свежем воздухе. Большие значения весовых факторовa3 , a4 , a5 иa6 выбраны для использования в офисе.
4. КОНКЛИЗ
В этом исследовании мы разработали новый подход к дизайну, который больше контролирует вспомогательную функцию и, следовательно, соответствует более индивидуальной коррекции зрения. Чтобы достичь цели, мы решаем уравнение Лапласа численно. Условия границ и связи установлены для удовлетворения конкретных требований. В результате, особая потребность в размерах и фокусах расстояния и вблизи регионов может быть удовлетворена в дизайне PAL в большей степени. Размеры и распределения областей астигматизма также улучшаются с помощью нашего подхода. Примеры демонстрируют способность нашего подхода.
Финансирование
Национальный фонд естественных наук Китая (NSFC) (61378056); Фонд естественных наук высших учебных заведений провинции Цзянсу (Китай) (17KJA140001); Программа PAPD провинции Цзянсу; Ключевые дисциплины Цзянсу из тринадцати пятилетнего плана (20168765); Ключевая лаборатория Suzhou для оптоэлектронных материалов и устройств с низким размером (SYG201611); Ключевой инновационный план инноваций в отраслевых технологиях Suzhou (SYG201646); Инновационный центр USTS.
Благодарности
Авторы также благодарны профессору Цянь Линь из Университета Суочоу за ценные советы и доктору Као Зонгжян из Университета Августы в США за редакционные предложения.